Ответы на вопросы

Что такое эллиптическое преобразование Фурье?

Эллиптическое преобразование Фурье состоит из двух параметрических функций x(t), y(t), которые апроксимируют координаты точек плоского контура. Каждая функция является бесконечной суммой синусов и косинусов, умноженных на коэффициенты ai, bi, ci, di:

$$x(t) = \sum_{k=1}^N a_i cos \frac{2k \pi t}{T} + b_i sin \frac{2k \pi t}{T},$$ $$y(t) = \sum_{k=1}^N c_i cos \frac{2k \pi t}{T} + d_i sin \frac{2k \pi t}{T}.$$

Последовательное суммирование постепенно воссоздает двухмерный контур, который все больше и больше напоминает исходную форму.

Из формул следует, что для сохранения информации о форме объекта достаточно сохранить значения коэффициентов.

Для чего нужны коэффициенты ЭПФ?

Коэффициенты — уникальный числовой отпечаток формы.

При помощи эллиптического преобразования Фурье субъективное представление о любой форме — округлая, вытянутая, утолщенная, трапециевидная, — становится объективным набором чисел. Потому что коэффициенты — это уникальное числовое представление геометрических особенностей формы объекта, ее числовой отпечаток.

Было
Форма вытянуто-овальная с перетяжкой посредине и удлиненно-треугольными выростами по краям

Стало
F = {0.236, 1.000, 0.000, -0.178, 0.023, 0.154, -0.245, 0.007, -0.292, 0.129, 0.013, ...}

Коэффициенты помогают сравнивать формы.

Когда формы преобразованы в последовательности коэффициентов, сравнивая их мат. методами, можно узнать, как сильно отличаются или похожи эти формы.

Коэффициенты позволяют сгладить форму.

Обратное ЭПФ воссоздает из последовательности коэффициентов форму. Она может быть точно такой же как исходная форма, или сильно отличаться от нее — это зависит от количества используемых коэффициентов. В любом случае, восстановленная форма получается сглаженной. Поэтому, чтобы сгладить контур формы, надо сначала вычислить коэффициенты ЭПФ, а потом восстановить по ним форму.

Если остались вопросы, пишите.