Это заметка-напоминалка о пхп-библиотеках, позволяющих найти сингулярное разложение матрицы (SVD — singular value decomposition).

Из Bellegarda (2005) Latent semantic mapping

Наилучший вариант ↓

PHP — Singular value decomposition SVD Влада Колодки.
Без зависимостей. Один файл svd.php.

include "svd.php";

// Конструирую матрицу
$matrix = [['0.00', '0.00', '0.56', '0.56'. '0.00', '0.00', '1.00'], 
           ['0.49', '0.71', '0.00', '0.00'. '0.00', '0.71', '0.00'],
           ['0.49', '0.71', '0.00', '0.00'. '0.00', '0.71', '0.00'],
           ['0.72', '0.00', '0.00', '0.00'. '1.00', '0.00', '0.00'],
           ['0.00', '0.00', '0.83', '0.83'. '0.00', '0.00', '0.00']];

// Создаю класс для работы с матрицами
$matrixClass = new Matrix;

// Вычисляю SVD
$USV = $matrixClass->svd($matrix);

/*
 Получаю ассоциативный массив, в котором M = USV.
 ВНИМАНИЕ: матрица V уже транспонирована.

 $matrices['U'] = $U;
 $matrices['S'] = $S;
 $matrices['W'] = $W;
 $matrices['V'] = $this->matrixTranspose($V);
 $matrices['Rank'] = $rank;
 $matrices['K'] = $k;
*/

// Восстанавливаю исходную матрицу
$input = $matrixClass->matrixMultiplication($USV['U'] ,$matrixClass->matrixMultiplication($USV['S'], $USV['V']));
$input = $matrixClass->matrixRound($input);

Тяжеловесная библиотека ↓

MathPHP — Powerful modern math library for PHP
Огромное число разнообразных функций. Установка через композер.

Полный перечень функций для работы с матрицами.

use MathPHP\LinearAlgebra\Matrix;
use MathPHP\LinearAlgebra\MatrixFactory;

// Create an m × n matrix from an array of arrays
$matrix = [
    [1, 2, 3],
    [4, 5, 6],
    [7, 8, 9],
];
$A = MatrixFactory::create($matrix);

// Basic matrix data
$array = $A->getMatrix();  // Original array of arrays
$rows  = $A->getM();       // number of rows
$cols  = $A->getN();       // number of columns

// Matrix decompositions
// LU decomposition
$LU = $A->luDecomposition();
$L  = $LU->L;  // lower triangular matrix
$U  = $LU->U;  // upper triangular matrix
$P  = $LU-P;   // permutation matrix

// QR decomposition
$QR = $A->qrDecomposition();
$Q  = $QR->Q;  // orthogonal matrix
$R  = $QR->R;  // upper triangular matrix

// SVD (Singular Value Decomposition)
$SVD = $A->svd();
$U   = $A->U;  // m x m orthogonal matrix
$V   = $A->V;  // n x n orthogonal matrix
$S   = $A->S;  // m x n diagonal matrix of singular values
$D   = $A->D;  // Vector of diagonal elements from S

// Crout decomposition
$LU = $A->croutDecomposition();
$L  = $LU->L;  // lower triangular matrix
$U  = $LU->U;  // normalized upper triangular matrix

// Cholesky decomposition
$LLᵀ = $A->choleskyDecomposition();
$L   = $LLᵀ->L;   // lower triangular matrix
$LT  = $LLᵀ->LT;  // transpose of lower triangular matrix

// Eigenvalues and eigenvectors
$eigenvalues   = $A->eigenvalues();   // array of eigenvalues
$eigenvecetors = $A->eigenvectors();  // Matrix of eigenvectors

// Solve a linear system of equations: Ax = b
$b = new Vector(1, 2, 3);
$x = $A->solve($b);

Библиотека для машинного обучения ↓

PHP-ML — Machine learning library for PHP
Не по теме. Не понял, есть ли SVD.

Американское математическое общество (AMS) выработало стандарт для классификации разделов математики. Он регулярно обновляется.

https://mathscinet.ams.org/mathscinet/msc

Текущая версия стандарта MSC 2020 включает 97 разделов, подразделы которых перечислены на более, чем 200 страницах.

Приятного изучения.

Если вам понравилась заметка, то вы можете купить мне пироженку, задонатив в телетайп-канале «Математический рок-н-ролл».

Фотограф Лукас Холас. Серия «Портреты животных».

Математический рок-н-ролл

За последние несколько месяцев я опубликовал более 30 классных популярных математических заметок для ВК канала «Ежик в матане». Но ленточное устройство ВК оставляет их активным сутки, иногда чуть больше, после чего они канут в Лету, то есть становятся практически недоступными. Это неудобно.

Чтобы избежать потери заметок, начинаю переносить их в Телетайп, в блог «Матеатический рок-н-ролл».

1. Теперь посты будут всегда доступными, пока существует Телетайп)
2. Блог в Телетайпе содержит уникальные заметки, посвященные необычной математике, описанной доступным языком.
3. За заметки вы можете меня поблагодарить донатом. Это поможет написать новые посты.

Первый пост называется «Оценка средних и карьера Вики». Он содержит краткий обзор различных средних значений.

Это была моя самая первая заметка для «Ежика», благодаря которой стал одни из его пишущих редакторов.

Заходите. Будет интересно.

Математический рок-н-ролл

Целоисчисленная матрица — это матрица, все элементы которой являются целыми числами.

Определитель целоисчисленной матрицы — тоже целое число. (Очевидно же.)

Используем класс целоисчисленных матриц, элементы которых могут принимать только значения из заданного множества целых чисел. (Такие матрицы называют богемными.)

Очевидно, что если множество возможных элементов матриц конечно, то и число возможных богемных матриц заданного размера тоже конечно.

Пусть мы ищем среди всех богемных матриц только те, определитель которых равен нулю. Ищем при помощи кода на Питоне. Определитель матрицы вычисляем так:

dt = np.linalg.det( a )

И вот тут возможна ошибка.

Если мы будем выбирать матрицы по условию dt==0, то получим неверный результат.

Using that test (dt==0) Python got the right number of [...] matrices when mdim=2 or mdim=3, but the test dt==0 failed a few times when mdim=4, and (after a long time computing) reported 15,015,617 singular matrices; the true number is 15,099,201. This is because np.linalg.det is computing the determinant from a numerical factoring (which introduces rational numbers and rounding error) and the roundoff error means that sometimes a zero determinant was not being reported as precisely zero.

Правильный результат получится если мы используем условие dt<0.5.

https://computational-discovery-on-jupyter.github.io/Computational-Discovery-on-Jupyter/Contents/bohemian-matrices.html#table-of-results