Это продолжение серии заметок об анализе биологических данных. В прошлый раз мы разобрали понятие объекта и его признаков.

Сегодня рассмотрим процедуру предварительной обработки первичных данных — стандартизацию.

Допустим нам нужно статистически сравнить или сгруппировать несколько наблюдений по схожести признаков (например, выполнив кластерный анализ). Каждое наблюдение — это ряд числовых значений, к примеру, биомасс разных видов организмов. Ряды наблюдений упорядочены: первой всегда идет биомасса вида А, затем вида Б и так далее.

У значений есть особенность: в пределах ряда они могут отличаются в несколько раз, потому что мы изучаем как крупные, так и мелкие организмы. В результате биомасса одного или нескольких видов часто в несколько раз превышает остальные. Как на графике.

Первичные нестандартизованные данные, строки соответствуют наблюдениям, столбцы — видам. Биомассса первого вида практически во всех случаях подавляет биомассу остальных, поэтому кластерный анализ таких данных приведет к неверным выводам

Такие наблюдения сравнивать некорректно. Виды, доминирующие по биомассе, будут сильнее всего влиять на результаты сравнения. Поэтому получится, что мы будем сравнивать не биомассы всех видов, а только нескольких доминирующих (в частном случае — одного).

Теперь выполним стандартизацию по видам (по столбцам).

Данные стандартизованные по признакам (столбцам)

После стандартизации значения выровнялись и исчезло резкое доминирование отдельных видов. Теперь на результаты кластерного анализа будут влиять все значения. А его результаты будут более корректными.

Формула стандартизации

Для стандартизации ряда значений (строки или столбца) необходимо вычислить среднее \( \mu \) и стандартное отклонение \( \sigma \) значений ряда, затем отнять среднее от каждого элемента ряда и поделить разницу на стандартное отклонение:

\( y_i = (x_i — \mu) / \sigma \).

После таких манипуляций среднее ряда станет равным нулю, а стандартное отклонение — единице.

Полученные величины \( y_i \) будут выражать значения в пропорции к стандартному отклонению: то есть 1 будет означать одно стандартное отклонение, 2 — два и т. д.

Код на R

Если вы работаете в R, для стандартизации используйте функцию scale(). Она стандартизирует столбцы переданной матрицы.

standardized_columns <- scale(matrix)

Если необходимо стандартизировать строки, транспонируйте t матрицу, а затем транспонируйте результат.

standardized_rows <- t( scale( t(matrix) ) )

Когда применять стандартизацию

Обычно стандартизацию применяют, когда диапазоны изменения значения признаков существенно отличаются, как в примере выше. Вот еще несколько рекомендация на английском о применимости стандартизации.